已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值－(t＞0),f(1)=0.(1)求y=f(x)的表达式；(2)若任意实数x都满足等式f(x)·g(x)+anx+bn=xn+1［g(x)］为多项式，n∈N*),试用t

Question

已知二次函数 y = f ( x )在 x = 处取得最小值－  ( t ＞0), f (1)=0.
(1)求 y = f ( x )的表达式；
(2)若任意实数 x 都满足等式 f ( x )· g ( x )+ a _n x + b _n = x ^{n +1} ［ g ( x )］为多项式， n ∈N ^* ),试用 t 表示 a _n 和 b _n ；
(3)设圆 C _n 的方程为( x － a _n ) ² +( y － b _n ) ² = r _n ² ，圆 C _n 与 C _{n +1} 外切( n =1,2,3,…);{ r _n }是各项都是正数的等比数列，记 S _n 为前 n 个圆的面积之和，求 r _n 、 S _n .

Answer 1

(1) f ( x )= x ² －( t +2) x + t +1, (2) a _n = ［( t +1) ^{n +1} －1］， b _n = ［1－( t +1 ⁿ ), (3) r _n = , S _n = π ( r ₁ ² + r ₂ ² +…+ r _n ² )= ［( t +1) ²ⁿ －1］

(1)设 f ( x )= a ( x － ) ² － ，由 f (1)=0得 a =1.
∴ f ( x )= x ² －( t +2) x + t +1.
(2)将 f ( x )=( x －1)［ x －( t +1)］代入已知得:
( x －1)［ x －( t +1)］ g ( x )+ a _n x + b _n = x ^{n +1} ，
上式对任意的 x ∈R都成立，
取 x =1和 x = t +1分别代入上式得  
且 t ≠0，
解得 a _n = ［( t +1) ^{n +1} －1］， b _n = ［1－( t +1 ⁿ )
(3)由于圆的方程为( x － a _n ) ² +( y － b _n ) ² = r _n ² ，
又由(2)知 a _n + b _n =1，故圆 C _n 的圆心 O _n 在直线 x + y =1上，
又圆 C _n 与圆 C _{n +1} 相切，故有 r _n + r _{n +1} = ｜ a _{n +1} － a _n ｜= ( t +1) ^{n +1}
设{ r _n }的公比为 q ，则
                                                   
②÷①得 q = = t +1，代入①得 r _n =
∴ S _n = π ( r ₁ ² + r ₂ ² +…+ r _n ² )= ［( t +1) ²ⁿ －1］.