已知曲线L：x＝f(t)y＝cost（0≤t＜π2），其中函数f（t）具有连续导数，且f（0）=0，f(t)＞0(0＜t＜π2)．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f（t）的表达式，并求此曲线L与x

Question

已知曲线L：

x＝f(t)

y＝cost

（0≤t＜(π)/(2)），其中函数f（t）具有连续导数，且f（0）=0，f(t)＞0(0＜t＜(π)/(2))．若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f（t）的表达式，并求此曲线L与x轴与y轴无边界的区域的面积．

Answer 1

设切点坐标为（f（t），cost）；
(dy)/(dx)=(dy)/(dt)/(dx)/(dt)=(−sint)/(f′(t))
于是切线方程为：
y-cost=(−sint)/(f′(t))（x-f（t））
令y=0，解得：x=f（t）+(f′(t)cost)/(sint)
于是切线与x轴的交点坐标为：（f（t）+(f′(t)cost)/(sint)，0）
根据两点距离公式有：
√([f(t)+(f’(t)cost)/(sint)−f(t)]2+(0−cost)2)=1
即：[(f‘(t)cost)/(sint)]2+cos²t=1；
于是有：
[(f‘(t)cost)/(sint)]2=sin²t
即：f'（t）=(sin2t)/(cost)    t∈（0，(π)/(2)）
从而有：
f（t）=∫f'（t）dt
=∫(sin2t)/(cost)dt
=∫(1−cos2t)/(cost)dt
=∫（(1)/(cost)-cost）dt
=ln（sect+tant）-sint+C
又有：
f（0）=0；
∴f（0）=ln（sec0+tan0）-sin0+C=0
于是C=0；
∴f（t）=ln（sect+tant）-sint
根据参数方程面积计算公式有：
S=

∫

(π)/(2) 0

y（t）dx（t）
=

∫

(π)/(2) 0

costdf（t）
=

∫

(π)/(2) 0

cost•f'（t）dt
=

∫

(π)/(2) 0

cost•(sin2t)/(cost)dt
=

∫

(π)/(2) 0

sin²tdt
=

∫

(π)/(2) 0

(1−cos2t)/(2)dt
=

∫

(π)/(2) 0

(1)/(2)dt-

∫

(π)/(2) 0

(cos2t)/(2)dt
=(π)/(4)-0
=(π)/(4)．
故曲面面积为：(π)/(4)．