已知数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn=三分之一×（an-1）n为正整数已知数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn=三分之一×（an-1）n为正整数(1)求a1a2a3(2)求证｛an｝为等比数列(3)数列｛an｝的通项公式

Question

已知数列｛an｝的前n项和为Sn,Sn=三分之一×（an-1） n为正整数
已知数列｛an｝的前n项和为Sn,
Sn=三分之一×（an-1） n为正整数
(1)求a1 a2 a3
(2)求证｛an｝为等比数列
(3)数列｛an｝的通项公式

Answer 1

(1)由Sn=(an-1)/3得
a1=(a1-1)/3
∴a1=-1/2
同理S2=(a2-1)/3
a1+a2=(a2-1)/3
代入a1得a2=1/4
a1+a2=a3=(a3-1)/3
代入a1和a2得
a3=-1/8
(2)由Sn=(an-1)/3得
Sn-1=[a(n-1)-1]/3
两式相减得
Sn-Sn-1=[an-a(n-1)]/3
即an=[an-a(n-1)]/3
∴an/a(n-1)=-1/2
∴｛an｝为等比数列
(3)由(2)得
数列｛an｝的公比q=-1/2
∴数列｛an｝的通项公式为
an=a1*q^(n-1)
=(-1/2)*(-1/2)^(n-1)
=(-1/2)^n (n=1,2,……)