已知正项数列{An}的的首项A1=1/3,且A(n+1)=（An）/（2An+1）（n∈正N）,正项数列和为Sn且2√Sn=Bn+1（n∈正N）设f(n)=49an+bn,求f(n)的最小值

Question

已知正项数列{An}的的首项A1=1/3,且A(n+1)=（An）/（2An +1）（n∈正N）,正项数列和为Sn且2√Sn =Bn +1 （n∈正N）
设f(n)=49an+bn,求f(n)的最小值

Answer 1

(1)Ⅰ∵{An}是正项数列
∴A(n+1)=（An）/（2An +1）
可变形为
1/A(n+1)=（2An +1）/（An）
1/A(n+1)-1/（An）=2
故{1/An}是以3为首项,公差为2的正项等差数列,即1/An=2n+1
(2)
2√Sn =Bn +1
平方4sn=(Bn+1)^2
4s(n-1)=[B(n-1)+1]^2
相减4Bn=(Bn+1)^2)-[B(n-1)+1]^2
(Bn+B(n-1))[Bn-B(n-1)-2]=0
正项数列{Bn}
Bn-B(n-1)-2=0,得{Bn}是一个等差数列.
2√Sn =Bn +1 ,n=1得B1=1
即:Bn=2n-1
（2）f（n）=49An+Bn
=49/（2n+1）+ （2n+1）- 2
≥2√49 - 2
=12
当且仅当 49/（2n+1）=（2n+1）,即n=3时,f（n）的最小值,最小为12.