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已知函数f（x）=10x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于______．
题目详情
已知函数f（x）=10x，对于实数m、n、p有f（m+n）=f（m）+f（n），f（m+n+p）=f（m）+f（n）+f（p），则p的最大值等于______．
▼优质解答
答案和解析
由f（x）=10x得：f（m+n）=f（m）f（n），
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
则f（m）、f（n）是x2-tx+t=0的解，
∵△=t2-4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）=
∵f（m+n）=f（m）+f（n），
∴f（m）f（n）=f（m）+f（n），
设f（m）f（n）=f（m）+f（n）=t，
则f（m）、f（n）是x2-tx+t=0的解，
∵△=t2-4t≥0，
∴t≥4或t≤0（舍去）．
又f（m+n+p）=f（m）f（n）f（p）=f（m）+f（n）+f（p），
∴tf（p）=t+f（p），
∴f（p）=
| t |
| t−1 |
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