（2013•门头沟区一模）已知：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．（1）如图1，当∠ABC=45°时，线段DM与AE

Question

（2013•门头沟区一模）已知：在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，点F是AB边上一点，点E在线段DF的延长线上，点M在线段DF上，且∠BAE=∠BDF，∠ABE=∠DBM．

（1）如图1，当∠ABC=45°时，线段DM与AE之间的数量关系是

AE=√(2)MD

AE=√(2)MD

；
（2）如图2，当∠ABC=60°时，线段DM与AE之间的数量关系是______；
（3）①如图3，当∠ABC=α（0°＜α＜90°）时，线段DM与AE之间的数量关系是______；
②在（2）的条件下延长BM到P，使MP=BM，连结CP，若AB=7，AE=2√(7)，求sin∠ACP的值．

Answer 1

（1）如图1，连接AD．
∵AB=AC，BD=CD，
∴AD⊥BC．
又∵∠ABC=45°，
∴BD=AB•cos∠ABC，即AB=√(2)BD．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM．
∴(AE)/(DM)=(AB)/(DB)，
∴AE=√(2)MD；

（2）由（1）知△DBM∽△ABE，
∴(DM)/(AE)=(DB)/(AB)=cos∠ABC=cos60°=(1)/(2)，
∴MD=(1)/(2)AE，
∴AE=2MD；

（3）①由（1）知△DBM∽△ABE，
∴(DM)/(AE)=(DB)/(AB)=cos∠ABC=cosα，
∴DM=cosα•AE；
②如图2，连接AD，EP，设AD交CP于N．
∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形．
又∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=(1)/(2)AB．
∵∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，
∴△ABE∽△DBM，
∴(BE)/(BM)=(AB)/(DB)=2，∠AEB=∠DMB，
∴BE=2BM．
又∵BM=MP，
∴EB=BP．
∵∠EBM=∠ABC=60°，
∴△BEP为等边三角形，
∴EM⊥BP，
∴∠BMD=90°，
∴∠AEB=90°．
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=2√(7)，AB=7，
∴cos∠EAB=(2√(7))/(7)，cos∠PCB=cos∠EAB=

2

作业帮用户 2017-10-17 举报

问题解析

（1）首先连接AD，由AB=AC，∠ABC=45°，易得AB=

(1)/(2)BD，又由∠BAE=∠BDM，∠ABE=∠DBM，可证得△ABE∽△DBM，根据相似三角形的对应边成比例，即可得AE=√(2)DM；
（2）由∠ABC=60°及△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得MD=(1)/(2)AE，继而可得AE=2MD；
（3）①由△DBM∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得DM=cosαAE；
②首先连接AD，EP，设AD交CP于N，根据题意易证得△ABC是等边三角形，△ABE∽△DBM，继而可证得△BEP为等边三角形，然后在Rt△AEB中，利用余弦函数的定义求出cos∠EAB=(2√(7))/(7)，得出cos∠PCB=(2√(7))/(7)，再解Rt△ABD，求出AD=(7√(3))/(2)，解Rt△NDC，得到CN=(7√(7))/(4)，ND=(7√(3))/(4)，则NA=(7√(3))/(4)，然后过N作NH⊥AC，垂足为H．解Rt△ANH，求出NH=(1)/(2)AN=(7√(3))/(8)，然后利用三角函数的定义，即可求得sin∠ACP的值．

名师点评

本题考点：

相似形综合题．

考点点评：

此题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，掌握转化思想与数形结合思想的应用．

扫描下载二维码

©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议