设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f

Question

设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2012型增函数”，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，
∴f（x）=

|x−a|−2a，x＞0

0，x＝0

2a−|x+a|，x＜0

，
又f（x）为R上的“2012型增函数”，
当x=0时，f（x+2012）=f（2012）=|2012-a|-2a，f（0）=0，
由f（2012）＞f（0）解得：a＜(2012)/(3)；
当x＞0时，由定义有|x+2012-a|-2a＞|x-a|-2a，即|x+2012-a|＞|x-a|，
两边平方，整理得：a＜1006+x，从而a≤1006；
当x＜0时，分两类研究：
（1）若x+2012＜0，即x＜-2012，则有-|x+2012+a|+2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|＞|x+2012+a|，两边平方，整理得：a＜-1006-x，
∵-x＞2012，∴a≤1006；
（2）若x+2012＞0，则有|x+2012-a|-2a＞-|x+a|+2a，即|x+a|+|x+2012-a|＞4a，
当a≤0时，显然成立；
当a＞0时，由于|x+a|+|x+2012-a|≥|-a-a+2012|=|2a-2012|，故有|2a-2012|＞4a，
必有2012-2a＞4a，解得a＜(1006)/(3)；
综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是 a＜(1006)/(3)，
即a的取值范围是（−∞，(1006)/(3)）．