对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x1∈[a，b]，都有f（x1）=c，且对任意x2∈D，当x2∉[a，b]时，f（x2）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底

Question

对于定义在区间D上的函数f（x），若存在闭区间[a，b]⊆D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＞c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平底型”函数．
（Ⅰ）判断函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|和f₂（x）=x+|x-2|是否为R上的“平底型”函数？并说明理由；
（Ⅱ）设f（x）是（Ⅰ）中的“平底型”函数，k为非零常数，若不等式|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，求实数x的取值范围；
（Ⅲ）若函数g(x)＝mx+√(x2+2x+n)是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，求m和n的值．

Answer 1

（1）对于函数f₁（x）=|x-1|+|x-2|，当x∈[1，2]时，f₁（x）=1．
当x＜1或x＞2时，f₁（x）＞|（x-1）-（x-2）|=1恒成立，故f₁（x）是“平底型”函数．（2分）
对于函数f₂（x）=x+|x-2|，当x∈（-∞，2]时，f₂（x）=2；当x∈（2，+∞）时，f₂（x）=2x-2＞2，所以不存在闭区间[a，b]，使当x∉[a，b]时，f（x）＞2恒成立．
故f₂（x）不是“平底型”函数．（4分）
（Ⅱ）若|t-k|+|t+k|≥|k|•f（x）对一切t∈R恒成立，则（|t-k|+|t+k|）_min≥|k|•f（x）．
因为（|t-k|+|t+k|）_min=2|k|，所以2|k|≥|k|•f（x）．又k≠0，则f（x）≤2．（6分）
因为f（x）=|x-1|+|x-2|，则|x-1|+|x-2|≤2，解得(1)/(2)≤x≤(5)/(2)．
故实数x的范围是[(1)/(2)，(5)/(2)]．（8分）
（Ⅲ）因为函数g(x)＝mx+√(x2+2x+n)是区间[-2，+∞）上的“平底型”函数，则
存在区间[a，b]⊆[-2，+∞）和常数c，使得mx+√(x2+2x+n)＝c恒成立．
所以x²+2x+n=（mx-c）²恒成立，即

m2＝1

−2mc＝2

c2＝n

．解得

m＝1

c＝−1

n＝1

或

作业帮用户 2017-11-02