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一直n阶方阵A,B满足A^2=A,(A+B)^2=A^2+B^2,证明A+I可逆,且AB=0
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一直n阶方阵A,B满足A^2=A,(A+B)^2=A^2+B^2,证明A+I可逆,且AB=0
▼优质解答
答案和解析
由A²=A,得A²-A=(A+I)(A-2I)+2I=0
则(A+I)(-A/2+I)=I
故A+I可逆,且(A+I)^(-1)=-A/2+I
∵(A+B)²=A²+AB+BA+B²=A²+B²
∴AB+BA=0
故A(AB+BA)A=A²BA+ABA²=2ABA=0
即ABA=0
又∵A(AB+BA)=A²B+ABA=AB+ABA=0
∴AB=0
则(A+I)(-A/2+I)=I
故A+I可逆,且(A+I)^(-1)=-A/2+I
∵(A+B)²=A²+AB+BA+B²=A²+B²
∴AB+BA=0
故A(AB+BA)A=A²BA+ABA²=2ABA=0
即ABA=0
又∵A(AB+BA)=A²B+ABA=AB+ABA=0
∴AB=0
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