若A是正规矩阵,请证明：若A、B可交换,则A的复共轭装置A(H)与B也可交换.另：若A=B^2,且存在一角度α,使得(B+B(H))cosα+j(B-B(H))sinα≥0,则B也是正规矩阵.请问刘这两个怎么证,不好意思，是刘老师

Question

若A是正规矩阵,请证明：若A、B可交换,则A的复共轭装置A(H)与B也可交换.
另：若A=B^2,且存在一角度α,使得(B+B(H))cosα + j(B-B(H))sinα ≥ 0,则B也是正规矩阵.
请问刘这两个怎么证,
不好意思，是刘老师！

Answer 1

前一问很显然,因为A^H一定是A的多项式
后一问稍微麻烦一点
先把B酉上三角化,并且要求重特征值都相邻,这样得到
Q^HBQ = T =
T_{11} T_{12} ...T_{1k}
0 T_{22} ...T_{2k}
...
0 0 ...T_{kk}
其中每个T_{ii}恰有一个特征值（不计重数）,并且不同的对角块对应不同的特征值
然后注意到Q^HAQ=T^2的对角块是T_{ii}^2=λ_i^2*I,非对角块都是0（由T^2的正规性得到）
接下来由T和T^2可交换得到T当中的非对角块T_{ij}都是0,所以Q^HBQ是块对角阵
再看每个对角块,如果T_{ii}非奇异,那么一定是纯量阵（否则T_{ii}^2不可能是正规阵）
如果有奇异的对角块T_{ii},那么用最后那个条件得到这个对角块必须是0
这样就把B酉对角化了