设x²+y²=z²,x,y,z为正整数,证明：60整除xyz

Answer 1

如果xyz=0,结论显然成立
如果公约数(x,y,z)!＝1,则两边约去公约数
以下假设：xyx!=0,且 (x,y,z)=1
如果x y z都不是3的倍数,两边除以3的余数是1+1＝1,不可能.所以3|xyz
如果.5的倍数,.5..：（正负1 +正负1＝正负1,左偶右奇,不可能）所以5｜xyz
如果x y z都是奇数,则两边除以8的余数是1+1＝1,不可能,必有一个是偶数,设为y,则x,z是奇数（否则(x,y,z）>1).y^2=z^2-x^2除以8余数＝1-1＝0,所以y是4的倍数.
综上所述：60＝3*5*4｜xyz