设p为质数,整数x,y,z满足0＜x＜y＜z＜p,若x³,y³,z³除以p的余设p为质数,整数x,y,z满足0＜x＜y＜z＜p,若x³,y³,z³除以p的余数相等,证明：x²+y²+z²能被x+y+z整除好的追加50

Question

设p为质数,整数x,y,z满足0＜x＜y＜z＜p,若x³,y³,z³除以p的余
设p为质数,整数x,y,z满足0＜x＜y＜z＜p,若x³,y³,z³除以p的余数相等,证明：x²+y²+z²能被x+y+z整除
好的追加50分

Answer 1

由已知x^3,y^3,z^3模p同余,
所以p整除（x^3-y^3）
即p整除（x-y）*（x^2+xy+y^2)
又0＜x＜y＜p,p是质数,故p不能整除（x-y),因此,p整除（x^2+xy+y^2)
同理可证
p整除（y^2+yz+z^2)
p整除（x^2+xz+z^2)
p整除（x^2+xy+y^2-y^2-yz-z^2）
即p整除（x-z)*(x+y+z),
从而,p整除（x+y+z）
已知0＜x＜y＜z＜p,
所以x+y+z=p或2p
由于p＞3,则（2,p）=1
又因为（x+y+z）与（x^2+xy+y^2）模2同余
故只须证明p整除（x^2+z^2+y^2).
p整除【x（x+y+z）+y^2-xz）】,于是,
p整除（y^2-xz）
同理p整除（x^2-yz）,
p整除（z^2-xy）.
p整除3（x^2+z^2+y^2).
故p整除（x^2+z^2+y^2).