两道简单的数论问题,搞不太懂数论,谢谢了1、证明存在无穷多个正整数,使得100整除2^n+n^22、证明不存在不为1的正整数x,y,z,使得其中任意一个平方减1均被另两个整除

Question

两道简单的数论问题,搞不太懂数论,谢谢了
1、证明存在无穷多个正整数,使得100整除2^n+n^2
2、证明不存在不为1的正整数x,y,z,使得其中任意一个平方减1均被另两个整除

Answer 1

这两个数论题目应该都不属于简单的范围吧.还是我的方法不够好= =
1.我们考虑2^n的末2位的规律：02 | 04 08 16 32 64 28 56 12 24 48 96 92 84 68 36 72 44 88 76 52 | 04 08...从这里开始就循环上了,因为下一个末两位仅仅和前面的末两位有关,因此一开始相同就开始循环上了.这里数一下正好是20的循环长.我们拼凑可知2^6+6^2=100因此我们构造：
(2^100)^K * 2^6 +(100K+6)^2=10000K^2+12000K+36+2^100K * 2^6 这里注意到前面2个>100 2^100K这里每20个2循环一次,因此2^100K * 2^6的末尾就是2^6的末尾,于是也是100的倍数,于是由构造法可知,是有无穷多个的.
2.x y|z^2-1 那么x y与z^2互质（因为z^2与z^2-1互质）,因此x y与z互质,那么同理可推知x y z两两互质,那么有：xy