设X,Y,Z都是整数,满足条件(X-Y)(Y-Z)(Z-X)=X+Y+Z,试证明X+Y+Z能被27整除对不起是(X-Y)(Y-Z)(x-z)=X+Y+Z刚才出了点错

Question

设X,Y,Z都是整数,满足条件(X-Y)(Y-Z)(Z-X)=X+Y+Z,试证明X+Y+Z能被27整除
对不起 是(X-Y)(Y-Z)(x-z)=X+Y+Z 刚才出了点错

Answer 1

这样来说明,按3分类,一个数被3除只可能余0,1,2三种情况,如果,xyz这三个数同余,那么x-y,y-z,x-z都是3的倍数,则乘积就是27的倍数,即x+y+z是27的倍数成立
除此外,还有两种可能,xyz中有两个数同余,则(X-Y)(Y-Z)(x-z)=X+Y+Z中,(X-Y)(Y-Z)(x-z)是3的倍数,X+Y+Z则不是,矛盾；
xyz一个数都不同余,那么一个余0,一个余1,一个余2,X+Y+Z是3的倍数,(X-Y)(Y-Z)(x-z)则不是,矛盾.
所以,只可能是第一种情况,一定成立