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在长方形ABCD中,点E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE,BG延长交DC于点F.(1)如果点G在长方形ABCD的内部,如图1所示.①求证:GF=DF;②若DF=12DC,AD=4,求AB的长度.(2)如果点
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在长方形ABCD中,点E是AD的中点,将△ABE沿BE折叠后得到对应的△GBE,BG延长交DC于点F.
(1)如果点G在长方形ABCD的内部,如图1所示.
①求证:GF=DF;
②若DF=
DC,AD=4,求AB的长度.
(2)如果点G在长方形ABCD的外部,如图2所示,DF=kDC(k>1),请用含k的代数式表示
的值.

(1)如果点G在长方形ABCD的内部,如图1所示.
①求证:GF=DF;
②若DF=
1 |
2 |
(2)如果点G在长方形ABCD的外部,如图2所示,DF=kDC(k>1),请用含k的代数式表示
AD |
AB |

▼优质解答
答案和解析
(1)①证明:如图1中,连接EF.

∵矩形ABCD中,E是AD的中点,△ABE沿BE折叠后得到△GBE,
∴AE=DE,AE=EG,∠A=∠BGE=∠D=90°,
在Rt△EFG和Rt△EFG中,
,
∴Rt△EGF≌Rt△EDF,
∴FG=DF;
②设DF=FC=a,则AB=BG=2a,GF=a,
在Rt△BFC中,∵BF2=CF2+BC2,
∴(3a)2+a2=42,
解得a=
,
∴AB=2a=
.
(2)如图2中,连接EF.

由(1)可知,△EFG≌△EFD,
∴∠FED=∠FEG,FD=FG,∵∠BEA=∠BEG,
∴∠BEF=90°,
∵∠BEG+∠FEG=90°,∠FEG+∠EFG=90°,
∠BEG=∠EFG,∵∠BGE=∠FGE=90°,
∴△BEG∽△EFG,
∴
=
,
∴EG2=BG•GF,设DC=AB=BG=a,则DF=FG=ka,
∴EG2=ka2,
∴EG=
a,
∴AD=2EG=2
a,
∴
=
=2
.

∵矩形ABCD中,E是AD的中点,△ABE沿BE折叠后得到△GBE,
∴AE=DE,AE=EG,∠A=∠BGE=∠D=90°,
在Rt△EFG和Rt△EFG中,
|
∴Rt△EGF≌Rt△EDF,
∴FG=DF;
②设DF=FC=a,则AB=BG=2a,GF=a,
在Rt△BFC中,∵BF2=CF2+BC2,
∴(3a)2+a2=42,
解得a=
2
| ||
5 |
∴AB=2a=
4
| ||
5 |
(2)如图2中,连接EF.

由(1)可知,△EFG≌△EFD,
∴∠FED=∠FEG,FD=FG,∵∠BEA=∠BEG,
∴∠BEF=90°,
∵∠BEG+∠FEG=90°,∠FEG+∠EFG=90°,
∠BEG=∠EFG,∵∠BGE=∠FGE=90°,
∴△BEG∽△EFG,
∴
EG |
FG |
BG |
EG |
∴EG2=BG•GF,设DC=AB=BG=a,则DF=FG=ka,
∴EG2=ka2,
∴EG=
k |
∴AD=2EG=2
k |
∴
AD |
AB |
2
| ||
a |
k |
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