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如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线DE,与过点A的直线垂直于E,弦BD的延长线与直线AE交于C点.(1)求证:点D为BC的中点;(2)设直线EA与⊙O的另一交点为F,求证:CA2-AF2=4CE•EA
题目详情
如图,AB是⊙O的直径,过圆上一点D作⊙O的切线DE,与过点A的直线垂直于E,弦BD的
延长线与直线AE交于C点.
(1)求证:点D为BC的中点;
(2)设直线EA与⊙O的另一交点为F,求证:CA2-AF2=4CE•EA;
(3)若弧AD=
弧DB,⊙O的半径为r.求由线段DE,AE和弧AD所围成的阴影部分的面积.

(1)求证:点D为BC的中点;
(2)设直线EA与⊙O的另一交点为F,求证:CA2-AF2=4CE•EA;
(3)若弧AD=
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▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接OD,
∵ED为⊙O切线,∴OD⊥DE;
∵DE⊥AC,∴OD∥AC;
∵O为AB中点,
∴D为BC中点;
(2)证明:连接BF,
∵AB为⊙O直径,
∴∠CFB=∠CED=90°;
∴ED∥BF;
∵D为BC中点,
∴E为CF中点;
∴CA2-AF2=(CA-AF)(CA+AF)
=(CE+AE-EF+AE)•CF=2AE•CF;
∴CA2-AF2=4CE•AE;
(3)∵
=
,
∴∠AOD=60°;
连接DA,可知△OAD为等边三角形,
∴OD=AD=r,
在Rt△DEA中,∠EDA=30°,
∴EA=
r,ED=
r;
∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=
−
πr2
=
r2−
πr2.

∵ED为⊙O切线,∴OD⊥DE;
∵DE⊥AC,∴OD∥AC;
∵O为AB中点,
∴D为BC中点;
(2)证明:连接BF,
∵AB为⊙O直径,
∴∠CFB=∠CED=90°;

∴ED∥BF;
∵D为BC中点,
∴E为CF中点;
∴CA2-AF2=(CA-AF)(CA+AF)
=(CE+AE-EF+AE)•CF=2AE•CF;
∴CA2-AF2=4CE•AE;
(3)∵
![]() |
AD |
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![]() |
DB |

∴∠AOD=60°;
连接DA,可知△OAD为等边三角形,
∴OD=AD=r,
在Rt△DEA中,∠EDA=30°,
∴EA=
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∴S阴影=S梯形AODE-S扇形AOD=
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