如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．（1）求证：点D为BC的中点；（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA2-AF2=4CE•EA

Question

如图，AB是⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线DE，与过点A的直线垂直于E，弦BD的延长线与直线AE交于C点．
（1）求证：点D为BC的中点；
（2）设直线EA与⊙O的另一交点为F，求证：CA²-AF²=4CE•EA；
（3）若弧AD=(1)/(2)弧DB，⊙O的半径为r．求由线段DE，AE和弧AD所围成的阴影部分的面积．

Answer 1

（1）证明：连接OD，
∵ED为⊙O切线，∴OD⊥DE；
∵DE⊥AC，∴OD∥AC；
∵O为AB中点，
∴D为BC中点；
（2）证明：连接BF，
∵AB为⊙O直径，
∴∠CFB=∠CED=90°；
∴ED∥BF；
∵D为BC中点，
∴E为CF中点；
∴CA²-AF²=（CA-AF）（CA+AF）
=（CE+AE-EF+AE）•CF=2AE•CF；
∴CA²-AF²=4CE•AE；
（3）∵

AD

＝(1)/(2)

DB

，
∴∠AOD=60°；
连接DA，可知△OAD为等边三角形，
∴OD=AD=r，
在Rt△DEA中，∠EDA=30°，
∴EA=(1)/(2)r，ED=(√(3))/(2)r；
∴S_阴影=S_梯形AODE-S_扇形AOD=(((1)/(2)r+r)•(√(3)r)/(2))/(2)−(1)/(6)πr2
=(3√(3))/(8)r2−(1)/(6)πr2．