已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•

Question

已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．
（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；
（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM²=AB•BM．

Answer 1

（1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，
∵BE=DF，∴CE=CF，
∴∠AEB=∠F=45°，
∴BE=BA=AD，
在△ADM和△BEM中，

∠DAM=∠EBM

∠AMD=∠BME

AD=BE

，
∴△ADM和△BEM，
∴DM=EM，即点M为ED中点；
（2） ∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，
∴△ADM∽△BEM，
∴(AM)/(BM)=(AD)/(BE)，
∵AM∥DF，AF∥DE，
∴四边形AMDF是平行四边形，
∴AM=DF，
∵BE=DF，
∴AM=BE，
∴(AM)/(BM)=(AB)/(AM)，
∴AM²=AB•BM．