已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，并延长AG、BC交于点H，∠DFC=∠EGC．（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；（2）求证：点G为CD中点；（3）

Question

已知在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，CE=CD，F为CE的中点，G为CD上的一点，连接DF、EG、AG，并延长AG、BC交于点H，∠DFC=∠EGC．
（1）若CF=2，AE=3，求BE的长；
（2）求证：点G为CD中点；
（3）求证：∠AGE=2∠CEG．

Answer 1

（1）∵CE=CD，点F为CE的中点，CF=2，
∴DC=CE=2CF=4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=4，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB=90°，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：BE=√(AB2−AE2)=√(7)；

（2）证明：过G作GM⊥AE于M，
∵AE⊥BE，GM⊥AE，
∴GM∥BC∥AD，
∵在△DCF和△ECG中，

∠1＝∠2 

∠C＝∠C 

CD＝CE 

，
∴△DCF≌△ECG（AAS），
∴CG=CF，
∵CE=CD，CE=2CF，
∴CD=2CG，
即G为CD中点；

（3）∵AD∥GM∥BC，G为CD中点，
∴M为AE中点，
∴AM=EM，
∵GM⊥AE，
∴AG=EG，
∴∠AGM=∠EGM，
∴∠AGE=2∠MGE，
∵GM∥BC，
∴∠EGM=∠CEG，
∴∠AGE=2∠CEG．