（2014•自贡）如图，已知抛物线y=ax2-32x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=12x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=12x-2与y轴的交点，连接AC．（1）求抛物线的解析式；（2）证明：△ABC为直角三角

Question

（2014•自贡）如图，已知抛物线y=ax²-(3)/(2)x+c与x轴相交于A、B两点，并与直线y=(1)/(2)x-2交于B、C两点，其中点C是直线y=(1)/(2)x-2与y轴的交点，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）证明：△ABC为直角三角形；
（3）△ABC内部能否截出面积最大的矩形DEFG？（顶点D、E、F、G在△ABC各边上）若能，求出最大面积；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）∵直线y=(1)/(2)x-2交x轴、y轴于B、C两点，
∴B（4，0），C（0，-2），
∵y=ax²-(3)/(2)x+c过B、C两点，
∴

0＝16a−6+c

−2＝c

，
解得

a＝(1)/(2)

c＝−2

，
∴y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-2．

（2）证明：如图1，连接AC，

∵y=(1)/(2)x²-(3)/(2)x-2与x负半轴交于A点，
∴A（-1，0），
在Rt△AOC中，
∵AO=1，OC=2，
∴AC=√(5)，
在Rt△BOC中，
∵BO=4，OC=2，
∴BC=2√(5)，
∵AB=AO+BO=1+4=5，
∴AB²=AC²+BC²，
∴△ABC为直角三角形．

（3）△ABC内部可截出面积最大的矩形DEFG，面积为

作业帮用户 2016-11-27

为您推荐：

问题解析

（1）由直线y=

(1)/(2)x-2交x轴、y轴于B、C两点，则B、C坐标可求．进而代入抛物线y=ax²-(3)/(2)x+c，即得a、c的值，从而有抛物线解析式．
（2）求证三角形为直角三角形，我们通常考虑证明一角为90°或勾股定理．本题中未提及特殊角度，而已知A、B、C坐标，即可知AB、AC、BC，则显然可用勾股定理证明．
（3）在直角三角形中截出矩形，面积最大，我们易得两种情形，①一点为C，AB、AC、BC边上各有一点，②AB边上有两点，AC、BC边上各有一点．讨论时可设矩形一边长x，利用三角形相似等性质表示另一边，进而描述面积函数．利用二次函数最值性质可求得最大面积．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

本题考查了二次函数图象的基本性质，最值问题及相似三角形性质等知识点，难度适中，适合学生巩固知识．

广告

扫描下载二维码

©2018 作业帮 联系方式：[e-mail]  作业帮协议