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用定义证明y=sinX在R上连续
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用定义证明y=sinX在R上连续
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答案和解析
即证lim（△x->0）(sin(x+△x)-sinx)=0
sin(x+△x)-sinx
=2cos(x+△x/2)sin△x/2
0≤|sin(x+△x)-sinx|=|2cos(x+△x/2)sin△x/2|≤2|sin△x/2|≤2×|△x/2|=|△x|
因为
lim（△x->0）0=lim（△x->0）△x=0
所以
lim（△x->0）(sin(x+△x)-sinx)=0
得证.
sin(x+△x)-sinx
=2cos(x+△x/2)sin△x/2
0≤|sin(x+△x)-sinx|=|2cos(x+△x/2)sin△x/2|≤2|sin△x/2|≤2×|△x/2|=|△x|
因为
lim（△x->0）0=lim（△x->0）△x=0
所以
lim（△x->0）(sin(x+△x)-sinx)=0
得证.
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