如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为-2．（1）求该抛物线的解析式；（2）连接BC，得△ABC．若点D在x轴上，且以

Question

如图1，直线y=x+3与x轴、y轴分别交于点A、点C，经过A、C两点的抛物线y=ax²+bx+c与x轴的另一交点为B，顶点P的横坐标为-2．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）连接BC，得△ABC．若点D在x轴上，且以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，求出点P的坐标并直接写出此时△PBD外接圆的半径；
（3）设直线l：y=x+t，若在直线l上总存在两个不同的点E，使得∠AEB为直角，则t的取值范围是______．

Answer 1

（1）由直线y=x+3知，点A（-3，0）、C（0，3）；
抛物线的顶点P的横坐标为-2，所以对称轴x=-2，则 B（-1，0）；
将点A、B、C的坐标代入抛物线的解析式中，得：

9a−3b+c＝0

a−b+c＝0

c＝3

，
解得

a＝1

b＝4

c＝3

故抛物线的解析式：y=x²+4x+3．

（2）由（1）的抛物线解析式知：y=x²+4x+3=（x+2）²-1，
则顶点P（-2，-1）；
已知A（-3，0）、C（0，3），B（-1，0）、P（-2，-1）知：∠CAB=∠PBA=45°，AB=2、AC=3√(2)、BP=√(2)；
①当∠ABC=∠BPD₁时，△ABC∽△BPD₁，得：
(BP)/(AB)=(BD1)/(AC)，即 <

作业帮用户 2017-10-08 举报

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问题解析

（1）知道了抛物线顶点P的横坐标，那么也就知道了抛物线的对称轴方程，点A、C的坐标可由直线AC求得，而点A、B关于抛物线对称轴对称，所以点B的坐标可得，再由待定系数法确定抛物线的解析式．
（2）由A、P、B、C四点坐标不难看出：∠PBA=∠CAB=45°，那么若以点P、B、D为顶点的三角形与△ABC相似，只需找出另一组对应角相等即可，分两种情况讨论：①∠PCB=∠ABC，②∠BPC=∠ABC；在上述两种情况中，先设出点D的坐标，再表示出BD、BP、AB、AC的长，根据得到的不同比例线段，列式求出点D的坐标．知道了PD的长，由2r=

(√(2))/(2)(PD)/(sin∠PBD)求出三角形的外接圆半径．
（3）∠AEB是直角，那么点E必为以AB为直径的圆与直线l的交点，若符合条件的点E有两个，那么直线l与以AB为直角的圆有两个交点，所以在判断t的取值范围时，考虑两个方面：①先求出最大、最小值，此时直线l与以AB为直角的圆相切；②∠AEB是直角，那么点A、E或点B、E不重合，即直线l不能经过点A、B．
（4）过点F作y轴的垂线FH，过点F作x轴的垂线FG，先证明△AFG∽△CFH，根据得到比例线段列式求出点F的坐标．

名师点评

本题考点：

二次函数综合题．

考点点评：

此题考查了难度较大的函数与几何的综合题，主要涉及了：函数解析式的确定、三角形外接圆半径的求法、圆周角、直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定和性质等重点知识；第三题中，由直角联想到圆是打开思路的关键；第二、四小题涉及到多种情况，应通过图形将各种情况分别列出进行分类讨论，以免出现漏解的情况．

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