如图所示，质量为M=2Kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上．M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m=0.4Kg的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态．假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大

Question

如图所示，质量为M=2Kg的物体置于可绕竖直轴匀速转动的平台上．M用细绳通过光滑的定滑轮与质量为m=0.4Kg的物体相连，m悬于空中与M都处于静止状态．假定M与轴O的距离r=0.5m，与平台的最大静摩擦力为重力的0.3倍．（g取10m/s²），试问：

（1）平台转速由零增大时，M受到的摩擦力如何变化？
（2）M受到的摩擦力最小时，平台的角速度ω₀等于多少？
（3）保持M与平台相对静止，平台的最大角速度ω_m等于多少？

Answer 1

（1）当角速度较小时，M有向圆心运动趋势，故水平面对M的静摩擦力方向背离圆心，对于M，由静摩擦力和拉力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律得：
    T-f=Mω²r，而T=mg不变，当ω增大时，摩擦力f减小；
当角速度较大时，M有离开圆心的运动趋势，故水平面对M的静摩擦力方向指向圆心，对于M，由静摩擦力和拉力的合力充当向心力，根据牛顿第二定律得：
    T+f=Mω²r，而T=mg不变，当ω增大时，摩擦力f增大；
故平台转速由零增大时，M受到的摩擦力先减小后增大．
（2）M受到的摩擦力最小为零，仅由绳子的拉力提供向心力，则得：
   T=Mω₀²r
又 T=mg
联立得：ω₀=√((mg)/(Mr))=√((0.4×10)/(2×0.5))rad/s=2rad/s
（3）当ω具有最大值时，M有离开圆心趋势，水平面对M摩擦力方向指向圆心，并且达到最大值．
再隔离M有：
  T+f_m=Mω_m²r
而f_m=0.3Mg，T=mg
联立得：ω_m=√((0.3M+m)/(Mr)g)=√((0.3×2+0.4)/(2×0.5)×10)rad/s=√(10)rad/s
答：（1）平台转速由零增大时，M受到的摩擦力先减小后增大．（2）M受到的摩擦力最小时，平台的角速度ω₀等于2rad/s．（3）保持M与平台相对静止，平台的最大角速度ω_m等于√(10)rad/s．