在菱形ABCD中，∠A=60°，以D为顶点作等边三角形DEF，连接EC，点N、P分别为EC、BC的中点，连接NP（1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，CE=3，求MN的长；（2）如图2，若M为EF中点，求

Question

在菱形ABCD中，∠A=60°，以D为顶点作等边三角形DEF，连接EC，点N、P分别为EC、BC的中点，连接NP
（1）如图1，若点E在DP上，EF与CD交于点M，连接MN，CE=3，求MN的长；
（2）如图2，若M为EF中点，求证：MN=PN；
（3）如图3，若四边形ABCD为平行四边形，且∠A=∠DBC≠60°，以D为顶点作三角形DEF，满足DE=DF且∠EDF=∠ABD，M、N、P仍分别为EF、EC、BC的中点，请探究∠ABD与∠MNP的和是否为一个定值，并证明你的结论．

Answer 1

（1）如图1，，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
又∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=AD=BD，
∴BC=CD=BD，
∴△BCD是等边三角形，
又∵P为BC的中点，
∴DP是∠BDC的平分线，
∴∠CDP=60°÷2=30°，
又∵三角形DEF是等边三角形，
∴∠DEF=60°，
∴∠DME=180°-30°-60°=90°，
在Rt△CME中，
∵N为EC的中点，
∴MN=(1)/(2)CE=(1)/(2)×3=(3)/(2)，
即MN的长是(3)/(2)．

（2）如图2，连接BE、CF，，
∵点N、M分别为EC、EF的中点，
∴MN是△CEF的中位线，
∴MN=(1)/(2)CF；
∵点N、P分别为EC、BC的中点，
∴PN是△CBE的中位线，
∴PN=(1)/(2)BE；
∵∠BDC=60°，∠EDF=60°，
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△∠CDF中，

BD=CD

∠BDE=∠CDF

DE=DF

∴△BDE≌△∠CDF，
∴CF=BE，
∴MN=PN．

（3）∠ABD与∠MNP的和是一个定值，∠ABD+∠MNP=180°．
证明：如图3，连接BE、CF，延长CE交BD于点G，，
∵点N、M分别为EC、EF的中点，
∴MN是△CEF的中位线，
∴MN∥CF，
∴∠MNE=∠FCE=∠FCD+∠DCE，
∵点N、P分别为EC、BC的中点，
∴PN是△CBE的中位线，
∴PN∥BE，
∴∠ENP=∠BEG，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠ABD，
又∵∠EDF=∠ABD，
∴∠BDC=∠EDF，
∴∠BDC-∠EDC=∠EDF-∠EDC，
即∠BDE=∠CDF，
∵∠A=∠DBC，∠ADB=∠DBC，
∴∠A=∠ADB，
∴AB=BD，
又∵AB=CD，
∴BD=CD，
在△BDE和△∠CDF中，

BD=CD

∠BDE=∠CDF

DE=DF

∴△BDE≌△∠CDF，
∴∠DBE=∠DCF，
根据三角形的外角的性质，可得
∠BGE=∠BDC+∠DCE，
在△BGE中，
∠BEG+∠BGE+∠GBE=180°，
∴∠ENP+（∠BDC+∠DCE）+∠DCF=180°，
∴（∠ENP+∠DCF+∠DCE）+∠BDC=180°，
又∵∠ENP+∠DCF+∠DCE=∠MNP，∠BDC=∠ABD，
∴∠ABD+∠MNP=180°，
即∠ABD与∠MNP的和是一个定值．