设f(x)在(0,1)连续,在（0,1）内可导,证明：存在x属于（0,1）,使得f(x)+fx的导数=e的负x次方（1）设在[0,1]连续,在（0,1）内可导,证明：存在,使得f(x)+f(x)’=e的负x次方乘以[f(1)e—f(0)]感激不尽!重

Question

设f(x)在(0,1)连续,在（0,1）内可导,证明：存在x属于（0,1）,使得f(x)+fx的导数=e的负x次方
（1）设 在[0,1]连续,在（0,1）内可导,
证明：存在 ,使得f(x)+f(x)’=e的负x次方乘以[f(1)e—f(0)]
感激不尽!重谢!

Answer 1

令g(x)=f(x)e^x,则g(x) 在[0,1]连续,在（0,1）内可导,且 g'(x)=f'(x)e^x+f(x)e^x=e^x(f(x)+f'(x)).(1)
所以存在x使得g'(x)=(g(1)-g(0))/(1-0)=f(1)e-f(0).(2)
由(1)(2)得f(x)+f'(x)=e^-x(f(1)e-f(0))