已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R），若存在t∈（0，2），对于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）>x+a都成立，则实数a的取值范围是（）A.a≤-14B.a≤0C.a≤14D.a≤2

Question

已知函数f（x）=（x-t）|x|（t∈R），若存在t∈（0，2），对于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）>x+a都成立，则实数a的取值范围是（　　）

A. a≤-

(1)/(4)

B. a≤0

C. a≤

(1)/(4)

D. a≤2

Answer 1

f（x）=（x-t）|x|=

-x2+tx，-1≤x≤0

x2-tx，0<x≤2

，
令g（x）=f（x）-x=

-x2+(t-1)x，-1≤x≤0

x2-(t+1)x，0<x≤2

．
当x∈[-1，0]时，g（x）的最小值为g（-1）=-t；
当x∈（0，2]时，∵(t+1)/(2)∈（0，2），
∴g（x）的最小值为g（(t+1)/(2)）=-((t+1)2)/(4)．
∴若存在t∈（0，2），对于任意x∈[-1，2]，不等式f（x）>x+a都成立，
故只需存在t∈（0，2），使得

-((t+1)2)/(4)>a

-t>a

，即

a≤-(1)/(4)

a≤0

，
∴实数a的取值范围是a≤-(1)/(4)．
故选：A．