设函数f（x）=x1+x-aln（1+x），g（x）=ln（1+x）-bx（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，

Question

设函数f（x）=(x)/(1+x)-aln（1+x），g（x）=ln（1+x）-bx
（1）若函数f（x）在x=0处有极值，求函数f（x）的最大值；
（2）是否存在实数b，使得关于x的不等式g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）证明：不等式-1＜

n

i＝1

(k)/(k2+1)-lnx≤(1)/(2)（n=1，2…）

Answer 1

（1）由已知得：f′（x）=(1)/((1+x)2)-(a)/(1+x)，且函数f（x）在x=0处有极值，
∴f′（0）=1-a=0，解得a=1．
∴f（x）=(x)/(1+x)−ln(1+x)，
∴f′（x）=(1)/((1+x)2)−(1)/(1+x)=(−x)/((1+x)2)．
当x∈（-1，0）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴函数f（x）的最大值为f（0）=0．
（2）由已知得：g′（x）=(1)/(1+x)-b，
（i）若b≥1，则x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0恒成立；
∴函数g（x）在x∈（0，+∞）上为减函数，
∴函数g（x）＜g（0）=0在x∈（0，+∞）上恒成立．
（ii）若b≤0，则x∈（0，+∞）时，g′（x）＞0．
∴g（x）在x∈（0，+∞）上为增函数，
∴g（x）＞g（0）=0，不能使g（x）＜0在x∈（0，+∞）恒成立；
（iii）若0＜b＜1，则g′（x）=(1)/(1+x)-b=0时，x=(1)/(b)-1，
当x∈[0，(1)/(b)−1)时，g′（x）≥0，∴g（x）在x∈[0，(1)/(b)−1)上为增函数，
此时g（x）＞g（0）=0，
∴不能使g（x）＜0在x∈（0，+∞）恒成立；
综上所述，b的取值范围是[1，+∞）．
（3）证明：由以上可得：(x)/(1+x)＜ln(1+x)＜x(x＞0)，
取x=(1)/(n)，可得(1)/(1+n)＜ln(1+(1)/(n))＜(1)/(n)，
令xn＝

n

k＝1

(k)/(k2+1)−lnn，
则x₁=(1)/(2)，x_n-x_n-1=(n)/(n2+1)−ln(1+(1)/(n−1))＜(n)/(n2+1)−(1)/(n)=-(1)/(n(n2+1))＜0，
∴数列{x_n}是单调递减数列，
∴x_n≤x₁=(1)/(2)，
n≥2时，x_n-x_n-1=(n)/(n2+1)−ln(1+(1)/(n−1))＞(n)/(n2+1)−(1)/(n−1)＞(1)/(n+1)−(1)/(n−1)，
∴x_n-x₁＞(1)/(n+1)+(1)/(n)−1−(1)/(2)，
∴xn＞(1)/(n+1)+(1)/(n)−1＞−1．
综上可得：-1＜

n

i＝1

(k)/(k2+1)-lnx≤(1)/(2)（n=1，2…）成立．