（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+k2+2k=0有两个实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说

Question

（2013•孝感）已知关于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+k²+2k=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求实数k的取值范围；
（2）是否存在实数k使得x₁•x₂-x₁²-x₂²≥0成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵原方程有两个实数根，
∴[-（2k+1）]²-4（k²+2k）≥0，
∴4k²+4k+1-4k²-8k≥0
∴1-4k≥0，
∴k≤(1)/(4)．
∴当k≤(1)/(4)时，原方程有两个实数根．　　　                    

（2）假设存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立．
∵x₁，x₂是原方程的两根，
∴x1+x2=2k+1，x1•x2=k2+2k．                  
由x1•x2-x12-x22≥0，
得3x1•x2-(x1+x2)2≥0．                                 
∴3（k²+2k）-（2k+1）²≥0，整理得：-（k-1）²≥0，
∴只有当k=1时，上式才能成立．                      
又∵由（1）知k≤(1)/(4)，
∴不存在实数k使得x1•x2-x12-x22≥0成立．