设(x>0)(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性；(Ⅱ)是否存在实数a，使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0，+∞)上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；(Ⅲ)求证：，(其中e为自然对数

Question

设(x>0)
(Ⅰ)判断函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)是否存在实数a，使得关于x的不等式ln(1+x)<ax在(0，+∞)上恒成立，若存在，求出a的取值范围，若不存在，试说明理由；
(Ⅲ)求证：，(其中e为自然对数的底数)．____

Answer 1

【分析】(1)已知f(x)，构造新的函数g(x)，利用导数求函数单调的方法步骤；
(2)将ln(1+x)<ax在(0，+∞)上恒成立等价于ln(1+x)-ax<0在(0，+∞)上恒成立，构造新的函数h(x)=ln(1+x)-ax，x∈[0，+∞)，依题意，我们所要求的a的取值范围，需要满足以下条件：能够使得h(x)在[0，+∞)上单调递减．
(3)由(2)可知在(0，+∞)上恒成立，可以得到<e，只需令=n，即可．

证明：(1)∵
∴，
设．
∴，
∴y=g(x)在[0，+∞)上为减函数．
∴，
∴，
∴函数在(0，+∞)上为减函数；
(2)∵ln(1+x)<ax在(0，+∞)上恒成立，
∴ln(1+x)-ax<0在(0，+∞)上恒成立，
设h(x)=ln(1+x)-ax，则h(0)=0，
∴，
若a≥1，则x∈[0，+∞)时，恒成立，
∴h(x)=ln(1+x)-ax在[0，+∞)上为减函数
∴ln(1+x)-ax<h(0)=0在(0，+∞)上恒成立，
∴ln(1+x)<ax在(0，+∞)上恒成立，
若a≤0显然不满足条件，
若0<a<1，则时，，
∴时h'(x)≥0，
∴h(x)=ln(1+x)-ax在上为增函数，
当时，h(x)=ln(1+x)-ax>0，
不能使ln(1+x)<ax在(0，+∞)上恒成立，
∴a≥1
(3)由(2)可知在(0，+∞)上恒成立，
∴，即，
取，即可证得对一切正整数n成立．

【点评】本题综合性较强，主要考查利用导数研究函数的单调性，以此为主线，贯穿其中．但对以上三个问题的解答，关键是构造函数，这是函数这一章节的重点和难点．