设1996X³=1997Y³=1998Z³（均为3立方）,XYZ＞0,且³√1996X²+1997Y²+1998Z²=³√1996=³√1997+³√1998求X分之一+Y分之一+Z分之一的值

Question

设1996X³=1997Y³=1998Z³（均为3立方）,XYZ＞0,且³√1996X²+1997Y²+1998Z² = ³√1996=³√1997+³√1998
求X分之一 + Y分之一 + Z分之一 的值

Answer 1

纠正题目³√1996X²+1997Y²+1998Z² = ³√1996=³√1997+³√1998应该改成
即³√（1996X²+1997Y²+1998Z²） = ³√1996+³√1997+³√1998才可能有解
令1996X³=1997Y³=1998Z³=k
则
1996 X2=k/X,³√1996=³√k/ X
1997 Y2=k/Y,³√1997=³√k/ Y
1998 Z2=k/Z,³√1998=³√k/ Z
由1996X³=1997Y³=1998Z³可知,X ,Y,Z同号；
又因为XYZ＞0,则可得X＞0,Y＞0,Z＞0,k＞0.
³√（1996X²+1997Y²+1998Z² ）= ³√1996+³√1997+³√1998
³√（k/X+ k/Y+ k/Z）=³√k/ X+³√k/ Y+³√k/ Z
³√k/³√（1/X+1/Y+ 1/Z）=³√k/（1/X+1/Y+ 1/Z）
³√（1/X+1/Y+ 1/Z）=1/X+1/Y+ 1/Z
1/X+1/Y+ 1/Z=1