已知偶函数f（x）=Asin（2x+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是3，最小值为-1（1）求A、b、φ的值；（2）求函数y=f（x+π4）的单调递增区间．

Question

已知偶函数f（x）=Asin（2x+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是3，最小值为-1
（1）求A、b、φ的值；
（2）求函数y=f（x+(π)/(4)）的单调递增区间．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=Asin（2x+φ）+b为偶函数，
∴f(-(π)/(4))=f((π)/(4))，
即Asin[2×（-(π)/(4)）+φ]+b=Asin[2×（(π)/(4)）+φ]+b，
∴sin（-(π)/(2)+φ）=sin（(π)/(2)+φ），
即-cosφ=cosφ，∴cosφ=0，∵0＜φ＜π，∴φ=(π)/(2)．
又函数f（x）=Asin（2x+φ）+b（A＞0，0＜φ＜π）的最大值是3，最小值为-1，
∴

A+b=3

-A+b=-1

，解得：A=2，b=1．
∴A、b、φ的值分别为：2，1，(π)/(2)；
（2）由（1）知，f（x）=2sin（2x+(π)/(2)）+1=2cos2x+1．
∴函数y=f（x+(π)/(4)）=2cos2（x+(π)/(4)）+1=2cos（2x+(π)/(2)）+1=-2sin2x+1
由(π)/(2)+2kπ≤2x≤(3π)/(2)+2kπ，k∈Z，得
(π)/(4)+kπ≤x≤(3π)/(4)+kπ，k∈Z．
∴函数y=f（x+(π)/(4)）的单调递增区间为[(π)/(4)+kπ，(3π)/(4)+kπ]，k∈Z．