设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=11,设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=1,则x(√1+y^2)最大值2,当-1≤x≤0时,函数y=(2^x+2)-3.4^x的最大值3,函数y=2x+3(x≤0),y=x+3(01)的最大值4,求函数f(x)=(e^x-a)^2+((e^-x)-a)^2(0

Question

设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=1
1,设x≥0,y≥0,x^2+(y^2/2)=1,则x(√1+y^2)最大值________
2,当-1≤x≤0时,函数y=(2^x+2)-3.4^x的最大值________
3,函数y=2x+3(x≤0),y=x+3(01)的最大值___________
4,求函数f(x)=(e^x-a)^2+((e^-x)-a)^2(0

Answer 1

∵ x,y均为正整数,x^2+y^2/2=1,为一椭圆的第一象限部分.
∴ √x*x*(1+y*y)=√x^2(1+y^2)≤(x^2+1+y^2)/2=1/2+(x^2+y^2)/2
即求x^2+y^2的最大值.
令f(x)=x^2+y^2,很明显,f（x）是一个圆的第一象限部分.要求f（x）的最大值,就是要求他的半径的最大值.那麼,当该圆内切於x^2+y^2/2=1这个椭圆时,半径才能取得最大值.此时半径为＝1.f（x）＝x^2+y^2=1
∴ √x*x*(1+y*y)≤1/2+(x^2+y^2)/2≤1/2+1/2=1
设2^x=t,则1/2x2
则
f(x1)-f(x2)=x1-x2+a/x1-a/x2=(x1-x2)(1-a/(x1*x2))
因为x1>x2,x1-x2>0
因为x1>=1,x2>=1,a>=1/2,则a/(x1*x2)0
所以f(x1)-f(x2)>0,因而f（x)是单调递增的
当x=1时,有最小值=7/2
(2)任意x∈〖1,+∞）,（x^2+2x+a）/x≥0均成立.
所以x²+2x+a≥0恒成立
(x+1)²≥1-a恒成立
所以x+1≥√（1-a）
或x+1≤-√（1-a）
x≥√（1-a） -1
或x≤-√（1-a） -1
其解集应为：x≥1
所以√（1-a） -1＜1
1-a＜4
a＜-3