数学高考题.对于n∈N*,将n表示为n=a0×2^k+a1×2^k-1+a2×2^k-2+……ak-1×2+ak×2^0.a0=1,当1≤i≤k时,ai记为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数,（例如1=1×2^0,4=1×2^2+0×2^1+0×2^0,故I（1）=0,I（4）=2）则：I（12

Question

数学高考题.
对于n∈N*,将n表示为
n=a0×2^k+a1×2^k-1+a2×2^k-2+……ak-1×2+ak×2^0.a0=1,当1≤i≤k时,ai记为0或1.记I(n)为上述表示中ai为0的个数,（例如1=1×2^0,4=1×2^2+0×2^1+0×2^0,故I（1）=0,I（4）=2）则：I（12）= 127∑ 2^I（n）= n=1

Answer 1

（1）根据题意,12=1×23+1×22+0×21+0×20,则I（12）=2；
（2）127=1×26+1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20,
设64≤n≤126,且n为整数；
则n=1×26+a1×25+a2×24+a3×23+a4×22+a5×21+a6×20,
a1,a2,a3,a4,a5,a6中6个数都为0或1,其中没有一个为1时,有C60种情况,即有C60个I（n）=5；
其中有一个为1时,有C60种情况,即有C60个I（n）=5；
其中有2个为1时,有C62种情况,即有C62个I（n）=4；
…
∑n=641272I（n）=C6026+C61×25+C62×24+C63×23+C64×22+C65×2+1=（2+1）n=36,
同理可得： ∑n=32632I(n)=35,
…
∑n=232I(n)=31,
2I（1）=1；
则 ∑n=11272I(n)=1+3+32+…+36= 37-13-1=1093；