对于n∈N+，将n表示为n=a0×2k+a1×2k-1+a2×2k-2+…+ak-1×21+ak×20，当i=0时，a1=1，当1≤i≤k时，a1为0或1，记I（n）为上诉表示中ai为0个数（例如：1-1×20，4=1×22+0×21+0×00，故I（1）=0，I（4）=2），则

Question

对于n∈N⁺，将n表示为n=a 0×2k+a₁×2^k-1+a₂×2^k-2+…+a_k-1×2¹+a_k×2⁰，当i=0时，a₁=1，当1≤i≤k时，a₁为0或1，记I（n）为上诉表示中a_i为0个数（例如：1-1×2⁰，4=1×2²+0×2¹+0×0⁰，故I（1）=0，I（4）=2），则
（1）I（15）=___
（2）

126

n=1

2^I（n）=___．

Answer 1

（1）∵15=1×2³+1×2²+1×2¹+1×2⁰，
∴I（15）=0；
（2）126=1×2⁶+1×2⁵+1×2⁴+1×2³+1×2²+1×2¹+0×2⁰，
设64≤n≤126，且n为整数；
则n=1×2⁶+a₁×2⁵+a₂×2⁴+a₃×2³+a₄×2²+a₅×2¹+a₆×2⁰，
a₁，a₂，a₃，a₄，a₅，a₆中6个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有C₆⁰种情况，即有C₆⁰个I（n）=6；
其中有一个为1时，有C₆¹种情况，即有C₆¹个I（n）=5；
其中有2个为1时，有C₆²种情况，即有C₆²个I（n）=4；
…

126

n=64

2^I（n）=C₆⁰2⁶+C₆¹×2⁵+C₆²×2⁴+C₆³×2³+C₆⁴×2²+C₆⁵×2=（2+1）ⁿ-1=3⁶-1
同理可得：

63

n=32

2^I（n）=3⁵，
…

3

n=2

2^I（n）=3¹，
2^I（1）=1；
则

126

n=1

2^I（n）=1+3+3²+…+3⁶-1=(37-1)/(3-1)-1=1092；
故答案为：（1）0；（2）1092．