设f（x）在[a，b]上连续，且a＜x1＜x2＜…＜xn＜b，ci（i=1，2，3，…，n）为任意正数，则在（a，b）内至少存在一个ξ，使f(ξ)=c1f(x1)+c2f(x2)+…+cnc1+c2+…+cn．

Question

设f（x）在[a，b]上连续，且a＜x₁＜x₂＜…＜x_n＜b，c_i（i=1，2，3，…，n）为任意正数，则在（a，b）内至少存在一个ξ，使f(ξ)=(c1f(x1)+c2f(x2)+…+cn)/(c1+c2+…+cn)．

Answer 1

证明：令M=

max

1≤i≤n

f（x_i），m=

min

1≤i≤n

f(xi)，
所以  m≤(c1f(x1)+c2f(x2)+…+cn)/(c1+c2+…+cn)≤M．
由连续函数的介值定理可得，
存在ξ（ a＜x₁≤ξ≤x_n＜b），使得
f(ξ)=(c1f(x1)+c2f(x2)+…+cn)/(c1+c2+…+cn)．