如图，棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD，∠A1AC=60°．（1）证明：BD⊥AA1；（2）求二面角A1-C1D-B的平面角的余弦值．

Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC=60°．
（1）证明：BD⊥AA₁；
（2）求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）证明：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O，
在△AA₁O中，AA₁=2，AO=1，∠A₁AO=60°
∴A₁O²=AA₁²+AO²-2AA₁•AOcos60°=3
∴AO²+A₁O²=AA₁²
∴A₁O⊥AO，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AO
∴A₁O⊥底面ABCD
∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则A（0，-1，0），B（√(3)，0，0），C（0，1，0），D（-√(3)，0，0），
A₁（0，0，√(3)）                         
∵

BD

=（-2√(3)，0，0），

AA1

=（0，1，√(3)），
∴

作业帮用户 2016-11-23 举报

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问题解析

（1）连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O，可证A₁O⊥底面ABCD，从而建立空间直角坐标系，求出向量的坐标，证明向量的数量积为0 即可得到BD⊥AA₁；
（2）确定平面A₁C₁D、平面BC₁D的法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角A₁-C₁D-B的平面角的余弦值．

名师点评

本题考点：

与二面角有关的立体几何综合题；空间中直线与直线之间的位置关系．

考点点评：

本题考查线面位置关系，考查面面角，考查利用向量方法解决立体几何问题，属于中档题．

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