一、x=(b^2+c^2-a^2)/2bc,y=(c^2+a^2-b^2)/2ac,z=(a^2+b^2-c^2)/2ab,x+y+z=1,求X^1996+y^1996+z^1996=?二、a,b,c都大于0,（a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+(c^2+a^2-b^2)/2ac＞1,求证：a,b,c可以构成三角形三、（a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2

Question

一、x=(b^2+c^2-a^2)/2bc,y=(c^2+a^2-b^2)/2ac,z=(a^2+b^2-c^2)/2ab,x+y+z=1,求X^1996+y^1996+z^1996=?
二、a,b,c都大于0,（a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+(c^2+a^2-b^2)/2ac＞1,求证：a,b,c可以构成三角形
三、（a^2+b^2-c^2)/2ab+(b^2+c^2-a^2)/2bc+(c^2+a^2-b^2)/2ac=1
求证；a,b,c三个中两个是1,一个是-1

Answer 1

1.
通分:
x+y+z=(a^2b+ab^2+a^2c+ac^2+b^2c+bc^2-a^3-b^3-c^3)/2abc=1
也就是:
a^2b+ab^2+ac^2+a^2c+bc^2+b^2c=a^3+b^3+c^3+2abc
注意到
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=
a^2b+ab^2+bc^2+b^2c+ac^2+a^2c-a^3-b^3-c^3-2abc=0
所以a+b-c,b+c-a,c+a-b中至少有一个为0,不妨a+b-c=0;
x=(b^2+c^2-(b-c)^2)/2bc=1
y=(c^2+(b-c)^2-b^2)/2(c-b)c=1
z=(a^2+b^2-(a+b)^2)/2ab=-1
所以x^1996+y^1996+z^1996=1+1+1=3
2.
利用1的结论:
(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)>0
讨论:
1.若a+b-c,b+c-a,c+a-b中只有一个>0,其它两个0
b+c-ac+b+c-b=2c