是否能找四个不同的正整数,使得两两之和都是完全平方?如果是只找三个数,那么非常简单.设x=(a^2+b^2-c^2)/2;y=(a^2+c^2-b^2)/2;z=(b^2+c^2-a^2)/2.于是x+y,y+z,z+x都是完全平方数.如果你觉得不能找到,

Question

是否能找四个不同的正整数,使得两两之和都是完全平方?
如果是只找三个数,那么非常简单.
设 x=(a^2+b^2-c^2)/2 ;
y=(a^2+c^2-b^2)/2 ;
z=(b^2+c^2-a^2)/2 .
于是 x+y,y+z,z+x 都是完全平方数.
如果你觉得不能找到,请大致给个理由,或者提供相关的资料来源.

Answer 1

可以 （这里给出一组 四个数 x=174897 y=264672 z=5728 ,m=775728 ,可用计算器检验)
解答及分析如 ：下设这四个数分别为 x,y,z,m 且满足：
x+y=a^2 .①
x+z=b^2 .②
y+z=c^2 .③
x+m=d^2 .④
y+m=e^2 .⑤
z+m=f^2 .⑥
(!!）中间的为注释部分,为方便理解输入的,可不看
其实,其中只有x,y,z,w 四个未知数(a,b,c,d,e,f是已知）,而却有6个方程,其中a,b,c,d,e,f必然有特殊关系,（注释!比如,x+y=2,x-y=0,2x+y=m 若要该方程组有解,必然是m=3 又比如,x+y=2p,x-y=2q,2x+y=m 若该方程有解,由前两个式子得 x=p+q,y=p-q,代入第三个,可求出m与p,q的关系,m=3p !注释完）
而在此题中很明显 ,根据.①,②,③ 我们可以解出x,y,z(用a^2,b^2,c^2表示) 而④.⑤.⑥ 三个式子,却只剩下一个m,所以我们可以根据这三个式子 得到a,b,c,d,e,f之间的关系,进一步求出a,b,c,d,e,f 再求 x,y,z,m
由①+⑥,求得 m=a^2+f^2-x-y-z
由② ⑤,得 m=b^2+e^2-x-y-z
由 ③④ 得,m=c^2+d^2-x-y-z
根据上面三个式子 ,得到a^2+f^2=b^2+e^2=c^2+d^2 也就是a,b,c,d,e,f 满足的关系
于是问题转化为 是否存在 a,b,c,d,e,f 满足 a^2+f^2=b^2+e^2=c^2+d^2 成立.
以下为一种思路,来寻找这样的数,
先寻找三组 勾股数 3^2+4^2 =5^2 ,5^2+12^2=13^2,8^2+15^2=17^2 然后扩大一定倍数,使得三组斜边的平方相等
3^2+4^2 =5^2 两边同乘以 (13*17)^2得到:(3*13*17)^2+(4*13*17)^2=(5*13*17)^2
5^2+12^2=13^2,两边同乘以 (5*17)^2 得:(5*5*17)^2+(12*5*17)^2=(5*13*17)^2
同样 8^2+15^2=17^2 两边乘以(5*13)^2 得,(8*5*13)^2+(15*5*13)^2=(5*13*17)^2
于是 得到了符合条件的答案:
(3*13*17)^2+(4*13*17)^2=(5*5*17)^2+(12*5*17)^2=(8*5*13)^2+(15*5*13)^2
也就是a=3*13*17=663,f=4*13*17=884,b=5*5*17=425 ,e=12*5*17=1020,c=8*5*13=520,d=15*5*13=975
可以得到 a^2=439569 ,b^2=180625 .
代入①②③④⑤⑥ 解出答案
x=174897 y=264672 z=5728 m=775728
(也可以先代入①②③解出x,y,z 再解m)
花了蛮长时间输入的,是道好题!