已知数列{an}为等比数列.(1)若an＞0，a2a4+2a3a5+a4a6=25求a3+a5;(2)若a1+a2+a3=7a1a2a3=8求an.

Question

已知数列{a _n }为等比数列.

(1)若a _n ＞0，a ₂ a ₄ + 2a ₃ a ₅ +a ₄ a ₆ =25 求a ₃ +a ₅ ;

(2)若a ₁ +a ₂ +a ₃ =7 a ₁ a ₂ a ₃ =8 求a _n .

Answer 1

思路分析一：(1)已知条件便转化为关于a1与q的方程求解.(2)注意到a1a3=a22，则可立即求得a2，这样两个已知条件便转化成了关于a1、a3的二元二次方程组.解法一：(1)设数列的首项为a1，公比为q，则由a2a4+2a3a5+a4a6=25 得a12q4(1+2q2+q4)=25 即a12q4(1+q2)2=25.因为an＞0 所以a1q2(1+q2)=5 故a3+a5=a1q2+a1q4=a1q2(1+q2)=5.(2)因为在等比数列中，a1a3=a22 所以由a1a2a3=8得a23=8 ∴a2=2.将a2=2代入题中条件，得方程组解得从而得q=2或q= 于是得an=2n-1或an=思路分析二：(1)用整体思想，把条件化为a3+a5的方程.(2)可用通项公式的变式an=am·qn-m.解法二：(1)∵数列{an}为等比数列，∴a2·a4=a32 a4·a6=a52 ∴条件a2a4+2a3a5+a4a6=25，化为:a32+2a3a5+a52=25 即(a3+a5)2=25 又an＞0 ∴a3+a5＞0.∴a3+a5=5.(2)∵a1a3=a22 ∴条件a1a2a3=8化为：a23=8 ∴a2=2.条件a1+a2+a3=7化为：+2+2×q=7化为：2q2-5q+2=0解得q=2或.由an=a2·qn-2 ∴an=2×2n-2=2n-1或an=2×()n-2=