线性代数已知a1,a2……am线性无关,b1可由a1,a2……am线性表示,b2不能由a1,a2……am线性表示,求证,对任意常数t,向量组a1,a2……am,tb1+b2线性无关

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线性代数
已知a1,a2……am线性无关,b1可由a1,a2……am线性表示,b2不能由a1,a2……am线性表示,求证,对任意常数t,向量组a1,a2……am,tb1+b2线性无关

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答案和解析

由已知, b1可由a1,a2……am线性表示,b2不能由a1,a2……am线性表示
所以 tb1+b2 不能由a1,a2……am线性表示
(否则 b2 可由a1,a2……am线性表示)
所以向量组 a1,a2,…,am,tb1+b2 线性无关
或用反证.
假设向量组 a1,a2,…,am,tb1+b2 线性相关
由已知向量组 a1,a2,…,am 线性无关
所以 tb1+b2 可由 a1,a2,…,am 线性表示
又由已知 b1可由a1,a2……am线性表示
所以 b2 可由a1,a2……am线性表示
矛盾.

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