观察下列各式：（x-1）（x+1）=x2-1（x-1）（x2+x+1）=x3-1（x-1）（x3+x2+x+1）=x4-1…（1）根据以上规律，（x-1）（x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；（2）你能否由此归纳出一个一般性规律：（x-1）（xn+xn-1

Question

观察下列各式：（x-1）（x+1）=x²-1（x-1）（x²+x+1）=x³-1（x-1）（x³+x²+x+1）=x⁴-1
…
（1）根据以上规律，（x-1）（x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=___；
（2）你能否由此归纳出一个一般性规律：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=___；
（3）根据（2）的规律请你求出：1+2+2²+…+2²⁰¹⁶+2²⁰¹⁷的值．

Answer 1

（1）（x-1）（x⁸+x⁷+x⁶+x⁵+x⁴+x³+x²+x+1）=x⁹-1；
故答案为：x⁹-1；
（2）你能否由此归纳出一个一般性规律：（x-1）（xⁿ+x^n-1+…+x+1）=xⁿ⁺¹-1；
故答案为：xⁿ⁺¹-1；
（3）原式=（2-1）（2²⁰¹⁷+2²⁰¹⁶+…+2²+2+1）=2²⁰¹⁸-1．