已知xn是函数f（x）=xn+xn-1+xn-2+…+x-1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．（1）证明：12＜xn+1＜xn＜1；（2）证明：x1+x2+…+xnn＜12．

Question

已知x_n是函数f（x）=xⁿ+x^n-1+x^n-2+…+x-1（x＞0，n∈N且n≥2）的零点．
（1）证明：(1)/(2)＜x_n+1＜x_n＜1；
（2）证明：(x1+x2+…+xn)/(n)＜(1)/(2)．

Answer 1

证明：（1）∵f（x）=xn+xn-1+xn-2+…+x-1，∴f′（x）=nxn-1+（n-1）xn-2+…+2x+1，∵x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，∵f（1）=n-1＞0，f（12）=1-(12)n＜0，∴f（x）在（12，1）内有唯一零...