一道关于极限的高数题设x(n+1)=ln(1+xn),x1＞0第一个问题：求lim(n趋于正无穷)xn第二个问题：求lim(n趋于正无穷)[xn*x(n+1)]/[xn-x(n+1)]第一问：[注意：x＞ln(x+1)(x＞0)]于是,x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn＜0（n=1,2

Question

一道关于极限的高数题
设x(n+1)=ln(1+xn) ,x1＞0
第一个问题：求lim(n趋于正无穷)xn
第二个问题：求lim(n趋于正无穷)[xn*x(n+1)]/[xn-x(n+1)]
第一问：[注意：x＞ln(x+1) (x＞0)]
于是 ,x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn＜0 （n=1,2,3,……）
推出：xn单调减少有下界0
推出：存在极限
lin（x趋于正无穷）xn 记为 a （a ≥0）
推出：a=ln(1+a) (a>0时 a>ln(1+a))
推出：a=0
第二问：
原式=lim(n趋于正无穷) [xnln(1+xn)]/[xn-ln(1+xn)]
(数列极限转化为函数极限)lim(x趋于0) [xln(1+xn)]/[x-ln(1+x)]
=lim(x趋于0) x^2/[x-ln(1+x)]
=lim(x趋于0) 2x/[1-1/(1+x)]
=2
我的疑问：
第一：
为什么 [x＞ln(x+1) (x＞0)] 以及“xn单调减少有下界"
是通过 设函数做差求导 和 画图结合吗 x=0时差最小为0
第二：
a=ln(1+a) (a>0时 a>ln(1+a))
推出：a=0
这个地方没太理解好,能帮我解释下为啥能直接设a吗
第三个疑问：
数列转化为函数极限时：为什么范围由
lim(n趋于正无穷）变为lim(x趋于0)?
不着急,希望好心人有空的时候回答一下吧,

Answer 1

第一：
那个是通过作差求导做的,可以记住这个结论
设f(x)=x-ln(1+x) (x>0)
f'(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0
所以f(x)在(0,+∞)单调递增
f(x)>f(0)=0
所以x>ln(1+x)
然后用后一项减前一项x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn
它这里直接就说ln(1+xn)-xn0啊,它怎么没有证明呢?
我想还是要证明一下的,可以用数学归纳法
x1>0
假设当n=k时,xk>0
当n=k+1时,x(k+1)=ln(1+xk)>0
所以可以得出xn>0
那么就能推出x(n+1)-xn=ln(1+xn)-xn