高等数学证明题设函数f（x）在区间[a,b]上连续,A,B为两个常数,且AB>0,证明对任意x1,x2{x1,x2在区间[a,b]},都存在ξ{ξ在区间[a,b]},使f（ξ）=[Af（x1）+Bf（x2）]/(A+B)

Question

高等数学证明题
设函数f（x）在区间[a,b]上连续,A,B为两个常数,且AB>0,证明对任意x1,x2{x1,x2在区间[a,b]},都存在ξ {ξ在区间[a,b]},使f（ξ）=[Af（x1）+Bf（x2）]/(A+B)

Answer 1

令A/(A+B)=λ则B/(A+B)=1-λ,0≤λ≤1在闭区间[x1,x2](或[x2,x1])上不妨设f(x1)≤f(x2),则f(x1)≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)≤f(x2),f(x)在[a,b]上连续在[x1,x2](或[x2,x1])上也连续,由介值性定理知存在ξ属于[x1,x2](或[x2,x1])当然也属于[a,b],使得f(ξ)=λf(x1)+(1-λ)f(x2)得证.