若关于x的方程x2+2mx+m2+3m-2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为．

Question

若关于x的方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根x₁、x₂，则x₁（x₂+x₁）+x₂²的最小值为______．

Answer 1

由题意知，方程x²+2mx+m²+3m-2=0有两个实数根，
则△=b²-4ac=4m²-4（m²+3m-2）=8-12m≥0，
∴m≤(2)/(3)，
∵x₁（x₂+x₁）+x₂²
=（x₂+x₁）²-x₁x₂
=（-2m）²-（m²+3m-2）
=3m²-3m+2
=3（m²-m+(1)/(4)-(1)/(4)）+2
=3（m-(1)/(2)）² +(5)/(4)；
∴当m=(1)/(2)时，有最小值(5)/(4)；
∵(1)/(2)＜(2)/(3)，
∴m=(1)/(2)成立；
∴最小值为(5)/(4)；
故答案为：(5)/(4)．