已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）有两个不同的零点x1、x2．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）设x0=x1+x22，f′（x）为f（x）的导函数，证明f′（x0）＜0；（Ⅲ）证明：x1x2＞e2．

Question

已知函数f（x）=lnx+ax（a∈R）有两个不同的零点x₁、x₂．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）设x₀=(x1+x2)/(2)，f′（x）为f（x）的导函数，证明f′（x₀）＜0；
（Ⅲ）证明：x₁x₂＞e²．

Answer 1

（I）f′(x)＝(1)/(x)+a（x＞0），当a≥0时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，此时函数f（x）最多有一个零点，不符合题意，应舍去；
当a＜0时，令f′（x）=0，解得x=-(1)/(a)．当0＜x＜−(1)/(a)时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当x＞−(1)/(a)时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减法．
可知-(1)/(a)是函数f（x）的极大值点即最大值点，且当x→0时，f（x）→-∞；当x→+∞时，f（x）→-∞．
又函数f（x）=lnx+ax（a∈R）有两个不同的零点x₁、x₂．∴f（x）_max＞0，即ln(−(1)/(a))−1＞0，解得−(1)/(e)＜a＜0．
∴a的取值范围是(−(1)/(e)，0)．
（II）不妨设x₁＜x₂．
由（I）可知：0＜x1＜−(1)/(a)＜x2．
∵x＞−(1)/(a)时，函数f（x）单调递减，∴只要证明(x1+x2)/(2)＞−(1)/(a)即可，变为−(2)/(a)−x1＞−(1)/(a)．
设g（x）=ln(−(2)/(a)−x)+a(−(2)/(a)−x)−(lnx+ax)，
∴g′(x)＝(1)/((2)/(a)+x)−2a−(1)/(x)=(−2(ax+1)2)/(x(2+ax))＞0，x∈(0，−(2)/(a))，且g((−1)/(a))=0．
∴g(−(2)/(a)−x1)＞g(−(1)/(a))．
∴−(2)/(a)−x1＞−(1)/(a)．
（III）由（II）可得：(x1+x2)/(2)＞−(1)/(a)．
∵lnx₁+ax₁=0，lnx₂+ax₂=0，
∴lnx₁+lnx₂=-a（x₁+x₂）＞−a×(−(2)/(a))=2，
∴x1x2＞e2．