已知数列{an}是首项a1＞1，公比q＞0的等比数列．设bn=log2an（n∈N*），且b1+b3+b5=6，b1b3b5=0．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设{bn}的前n项和为Sn，求当S11+S22+…+Snn最大时n的值．

Question

已知数列{a_n}是首项a₁＞1，公比q＞0的等比数列．设b_n=log₂a_n（n∈N^*），且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设{b_n}的前n项和为S_n，求当(S1)/(1)+(S2)/(2)+…+(Sn)/(n)最大时n的值．

Answer 1

（Ⅰ）b₁+b₃+b₅=log₂（a₁a₃a₅）=log2(a13q6)=6⇒a13q⁶=2⁶⇒a₁q²=4，
∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁≠0，
又b₁b₃b₅=0，若b₃=0，则log₂a₃=log2(a1q2)=0，即a₁q²=0，这与a₁q²=4矛盾，
故b₅=log2(a1q4)=0⇒a₁q⁴=1．
∴q²=(1)/(4)，q=(1)/(2)，a₁=16．
∴a_n=16•((1)/(2))n−1=2^5-n．
（Ⅱ）∵b_n=log₂a_n=log225−n=5-n，∴{b_n}是首项为4，公差为-1的等差数列，
∴S_n=(9n−n2)/(2)，(Sn)/(n)=(9−n)/(2)．
故{(Sn)/(n)}是首项为4，公差为-(1)/(2)的等差数列．∵n≤8时，(Sn)/(n)＞0；
n=9时，(Sn)/(n)=0； n＞9时，(Sn)/(n)＜0．故当n=8或n=9时，(S1)/(1)+(S2)/(2)+…+(Sn)/(n)最大．