设f(x)在［a,b］上满足f’’(x)≤0,证明对任意的x1,x2属于［a,b］和0≤λ≤1都有ƒ（λx1+(1-λ)x2）≥λƒ(x1)+(1-λ)ƒ(x2)用TAYLOR公式解决谢谢~^^

Question

设f(x)在［a,b］上满足f’’(x)≤0,证明对任意的x1,x2属于［a,b］和0≤λ≤1都有ƒ（λx1+(1-λ)x2）≥λƒ(x1)+(1-λ)ƒ(x2)
用TAYLOR公式解决 谢谢~^^

Answer 1

设a=λx1+(1-λ)x2,由泰勒公式：
f(x1)=f(a)+f'(a)(x1-a)+f''(ξ)(x1-a)^2/2《f(a)+f'(a)(x1-a)
同样：f(x2)《f(a)+f'(a)(x2-a)
λƒ(x1)+(1-λ)ƒ(x2)《λ[f(a)+f'(a)(x1-a)]+(1-λ)[f(a)+f'(a)(x2-a)]
=f(a)+f'(a)(λx1+(1-λ)x2-a)=f(a)
即：ƒ（λx1+(1-λ)x2）≥λƒ(x1)+(1-λ)ƒ(x2)