已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)求证：（1）f(x)是奇函数；（2）若f(-3)=a,用a表示f(12)请写出答案与解题思路,谢谢!

Question

已知函数f(x)对一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)
求证：（1）f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a,用a表示f(12)
请写出答案与解题思路,谢谢!

Answer 1

（1）首先,f(x)的定义域为R,∴其定义域是关于原点对称的
其次,证明f(x)+f(-x)=0
令x=y=0,得f(0+0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0
令x=-y,则f(0)=f(x)+f(-x)=0
∴f(x)是奇函数
（2）∵f(x)是奇函数,∴f(3)=-f(-3)=-a
∴令x=y,得f(2x)=f(x)+f(x)=2f(x)
∴f(12)=2f(6)=4f(3)=-4a