dxarcsinx/√(1-x^2)^3的不定积分如何求?还有dx/[x乘以√(1+x+x^2)],谢谢帮忙答案分别是xarcsinx/√(1-x^2)+1/2in|1-X^2|+CIN|X/[2+X+2√1+X+X^2]|+C.

Question

dxarcsinx/√ (1-x^2)^3的不定积分如何求?还有dx/[x乘以√ (1+x+x^2)],谢谢帮忙
答案分别是xarcsinx/√(1-x^2)+1/2in|1-X^2|+C
IN|X/[2+X+2√1+X+X^2]|+C.

Answer 1

第一题：
令x=sinu,dx=cosudu
(1-x²)^(3/2)=cos³u
u=arcsinx
∴∫arcsinx/(1-x²)^(3/2) dx
=∫ucosu/cos³u du
=∫usec²u du
=∫u d(tanu)
=utanu-∫tanu du
=utanu+ln|cosu|+C
=arcsinx*x/√(1-x²)+ln|√(1-x²)|+C
=x*arcsinx/√(1-x²)+(1/2)ln|1-x²|+C
第二题：
∫1/[x√(1+x+x²)] dx
=∫1/{x√[(x+1/2)²+3/4]} dx,令x+1/2=√3/2*tanA,dx=√3/2*secAdA
=2∫secA/(√3*tanA-1) dA
=2∫1/(√3*sinA-cosA) dA
令B=tan(A/2),sinA=2B/(1+B²),cosA=(1-B²)/(1+B²),dA=2dB/(1+B²)
原式=4∫1/(B²+2√3*B-1) dB
=4∫1/[(B+√3)²-4] dB,令B+√3=2secC,dB=2secCtanCdC
=2∫secC/tanC dC
=2∫cscC dC
=2ln|cscC-cotC|+C
之后就是回代了.
得出结果为ln|x/[2+x+2√(x²+x+1)]|+C