lim[cos√（x+1）-cos√x]x趋向于无穷的结果是.还有当x趋向于0时,变量1/(x^2)sin(1/x)是无界,但不是无穷大.为什么不是无穷大?具体一点阿谢谢~

Question

lim[cos√（x+1）-cos√x] x趋向于无穷的结果是.
还有当x趋向于0时,变量1/(x^2)sin(1/x)是无界,但不是无穷大.为什么不是无穷大?具体一点阿谢谢~

Answer 1

设f(x)=cos√x,由拉格朗日中值定理得在(x,x+1)内存在一点e,使得f'(e)=f(x+1)-f(x),即-(sin√e)/2√e=cos√（x+1）-cos√x,两边取极限,x->无穷时,e->无穷.lim(e->无穷)-(sin√e)/2√e=lim(x->无穷)[cos√（x+1）-cos√x]=0.